1、蒙特卡羅方法（Monte Carlo method）是一種通過隨機變量的數字模擬和統計分析來求取數學物理、工程技術問題近似解的數值方法，利用這種方法求解問題的過程可以歸納為下列三個基本步驟：（1）隨機變量的抽樣試驗。

2、按基本隨機變量（輸入隨機變量）的已知概率分布進行隨機抽樣（數字模擬）。

(相關資料圖)

3、（2）樣本反應求解。

4、對每個抽取的樣本，按問題的性質采用確定性的控制數學、物理方程求取樣本反應。

5、（3）計算反應量的統計量估計。

6、對所有樣本反應，按所求解答的類型分別求取輸出隨機變量的均值、方差或概率分布。

7、當求解確定性問題時，首先，要根據所提出的問題構造一個簡單、適用的概率模型，使問題的解對應于該模型中隨機變量的某些數字特征（如概率、數學期望、方差等）；然后，在高速運行的計算機上生成隨機數，并對隨機數進行統計分析試驗；最后，利用試驗所獲結果求出統計特征的估計值作為問題的近似解。

8、總結以上思想，可以得出利用蒙特卡羅方法求解確定性問題的基本步驟為：（1）根據所要求解的實際問題來構造概型，并使概型的某些統計特征恰好相當于所要求的問題的解。

9、（2）根據所建立的概率模型，設計、使用一些加速收斂的方法，以求加速收斂并提高計算精度。

10、（3）給出在計算機上產生概型中各種不同分布隨機變量的方法。

11、（4）統計處理模擬結果，給出問題的近似解并做解的精度估計。

12、蒙特卡羅方法雖然可以求解許多確定性工程技術問題，但其獨到之處還應該在于求解隨機性問題。

13、用蒙特卡羅方法求解隨機性問題時，一般首先，根據問題的物理性質建立隨機模型；然后，再根據模型中各個隨機變量的分布，在計算機上產生隨機數，進行大量的統計試驗，以取得所求問題的大量試驗值；最后，根據這些試驗結果求它的統計特征量，從而獲得所求問題的解。

14、由此可見，用蒙特卡羅方法求解隨機問題的步驟與求解確定性問題的步驟基本一致。

15、總之，蒙特卡羅方法的理論基礎是概率論中的大數定律。

16、設在N次獨立試驗中，n為事件A出現的次數，而P（A）為事件A在每次試驗中出現的概率，貝努利大數定律指出，對于任意ε＞0，當 N→∞時，事件 A 出現的頻率的概率收斂于事件的概率。

17、即地下水系統隨機模擬與管理當隨機變量滿足獨立分布時，若隨機變量序列ξ1，ξ2，…，ξN的分布相同，ξi具有有限的數學期望E（ξi）=a，i=1，2，…，N，則根據柯欠莫哥洛夫大數定律，對于任意的ε＞0，當N→∞時，變量ξi 將以概率1收斂于期望值 a，即地下水系統隨機模擬與管理在蒙特卡羅方法中，采用簡單抽樣方法進行隨機變量的數字模擬，因此其所抽取的子樣為具有同分布性質的獨立隨機變量，當抽取的樣本個數足夠大時，樣本均值將以概率1收斂于分布均值，而事件 A 出現的頻率則以概率收斂于事件A 出現的概率，這樣就保證了蒙特卡羅方法的概率收斂性。

18、2.1.1 均勻分布隨機數的生成根據所求解問題性質的不同，其基本隨機變量可能屬于不同的概率分布，為了產生不同分布類型的隨機變量的抽樣值（隨機數），一般需先產生一個在［0，1］上均勻分布的隨機變量的抽樣值，然后按照給定的概率分布類型將其轉化為所需隨機變量的抽樣值。

19、因此，均勻分布隨機變量隨機數的生成是蒙特卡羅方法實現的基礎。

20、利用數值法產生的均勻隨機變量的抽樣值稱之為偽隨機數，這是因為數值方法的基礎是某一數學遞推公式，按這類遞推公式產生的抽樣與［0，1］均勻分布中的抽樣在統計性質上不可能完全相同。

21、數學遞推公式的一般形式是：地下水系統隨機模擬與管理式中：f（xn，xn-1，…，xn-k）——某一給定的函數形式。

22、根據這一函數式，當給定一組初值，x0，x-1，…，x-k后，便可依次求出x1，x2，…，xm…最常用的（0，1）均勻分布隨機數生成的遞推公式有：（1）乘同余法。

23、用以產生（0，1）均勻分布隨機數的遞推公式為：地下水系統隨機模擬與管理式中：λ，M和x0——預先給定的常數。

24、式（2.4）的意義是指以 M 除以λxi-1后得到的余數記為 xi。

25、由于是余數，所以，即有：地下水系統隨機模擬與管理如此所得的隨機數序列r1，r2，…，ri為具有（0，1）均勻分布的隨機數。

26、由式（2.4）不難看出，不同的xi最多只能有M個，相應地不同的隨機數ri也最多只能有M個。

27、所以當產生的隨機數ri個數多于M個時，就會出現循環數，這樣，便再不能看成是隨機數。

28、為了使所產生的隨機數能經得住數理統計中的獨立性和均勻性檢驗，需要合理選擇隨機數生成參數x0，λ及M。

29、表2.1所列為幾個經過檢驗的參數，以供參考。

30、表2.1（2）混合同余法。

31、混合同余法的遞推公式為：地下水系統隨機模擬與管理通過適當地選取參數，可以改變偽隨機數的統計性質。

32、其他有關偽隨機數的生成技術讀者可參閱文獻［32，41］。

33、2.1.2 任意分布隨機數的生成任意分布隨機數的生成是以（0，1）均勻分布隨機數為基礎，通過適當的數學變換來形成。

34、可以證明有下列任意分布隨機數生成公式。

35、（1）（a，b）上均勻分布隨機數的生成公式為：地下水系統隨機模擬與管理（2）具有指數分布概率密度f（x）=λe-λx（x≥0）的隨機數生成公式為：地下水系統隨機模擬與管理（3）正態分布N（0，1）隨機數生成公式為：地下水系統隨機模擬與管理（4）正態分布N（μ，σ）隨機數生成公式為：將式（2.8）的xi代入式：地下水系統隨機模擬與管理即可得 N（μ，σ）分布隨機數上述各式中的ri 為（0，1）均勻分布隨機數。

36、2.1.3 隨機數的統計檢驗為了進一步了解所生成的隨機數是否具有我們所需要的隨機數特性，往往需要對所生成的隨機數進行參數檢驗，均勻性檢驗和獨立性檢驗。

37、參數檢驗主要是為了檢驗隨機數的子樣均值和理論均值的差異是否顯著，（0，1）上均勻分布的隨機變量R的期望值和方差分別為：地下水系統隨機模擬與管理地下水系統隨機模擬與管理設隨機變數R共有n個觀測值r1，r2，…，rn，則由中心極限定理得知：式中：地下水系統隨機模擬與管理漸近服從標準正態分布 N（0，1），可以進行 U 檢驗。

38、當給定顯著性水平后，即可根據正態分布表確定臨界值，據此判斷-r 與其期望值E（R）之差異是否顯著，從而決定能否把 r1，r2，…，rn看做是（0，1）均勻分布隨機變量 R 的n 個獨立取值。

39、均勻性檢驗又稱頻率檢驗，它檢驗隨機數的經驗頻率與理論頻率的差異是否顯著。

40、把（0，1）區間分成 k 等份，以（i=1，2，…，k）表示第 i 個小區間，如 rs 是（0，1）上均勻分布的隨機變量 R 的一個取樣值，則它落在任一小區間的概率 Pi均勻等于這些小區間的長度，故 n 個值落在任一個小區間的平均數為mi=nPi=n/k，設 n 個rs 值落入第i 個小區間有ni個，則統計量：地下水系統隨機模擬與管理漸近地服從χ2（k-1）分布。

41、據此可進行顯著性檢驗。

42、獨立性檢驗主要是檢驗隨機數r1，r2，…，中前后各數的統計相關性是否顯著。

43、兩個隨機變數的相關系數反映它們之間的線性相關程度，若兩個隨機變數相互獨立，則它們的相關系數ρK=0，故可通過相關系數來檢驗隨機數的獨立性。

44、設給定n個隨機數r1，r2，…，rn，前后距離為k的樣本相關系數的計算公式為：式中：地下水系統隨機模擬與管理當獨立性假設（ρ=0）成立時，則當 n 充分大（如 n＞50+k）時，統計量 U=漸近地服從標準正態分布N（0，1），故可進行 U 檢驗。

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